المحتويات

  1. المتطلبات.
  2. معنى تمثيل العدد Representation of number .
  3. تمثيل الأعداد كـ .
  4. تمثيل الأعداد كبواقي قسمة.
  5. طرق التحويل.
  6. باستخدام بواقي القسمة.
  7. . باستخدام الـ .
  8. خاتمة.

المتطلبات

لفهم هذا المقال1، يجب أن تكون على معرفة بكلٍ من:

  1. .
  2. .

معنى تمثيل العدد Representation of number

بدايةً، يجب علينا أن نفهم ما معنى تمثيل العدد (Representation of number)، لأن هذا الموضوع يختلف تمامًا عن “ماهية العدد” والذي مجال بحثه فلسفة الرياضيات.

فما معنى تمثيل العدد؟

هو “تعبيرٌ” عن العدد من خلال نظامٍ ما، أي أنه تعبير لماهية “العدد” وفق ذلك النظام، لنأخذ النظام العشري(Decimal) مثالًا ونشرّحه ونفهمه.

تمثيل الأعداد كـ Polynomial

يتم تمثيل الأعداد في النظام العشري من خلال الدالة التالية:

$$ f(a,b,c,...,d,w)=a(10)^n+b(10)^{n-1}+c(10)^{n-2}+....+d(10)^{1}+w(10)^{0} $$

بحيث أن تنتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة، و هو عدد الـ المُررة إلى الدالة. لنأخذ العدد مثالًا، فهذا العدد يمثّل بالطريقة الآتي في النظام العشري:

$$ f(2,3,4,5)=2(10)^3+3(10)^{2}+4(10)^{1}+5(10)^{0} $$

وهو ما يكافئ2:

$$ f(2,3,4,5)=2(1000)+3(100)+4(10)+5(1) = 2000+300+40+5 = 2345 $$

وما نفهم منه: أن تمثيل الأعداد في الحقيقة ما هو إلا عبارة عن ، يكون فيها المتغير هو الأساس، والثوابت وهي ما تسمى() ما بين :

$$ a(x)^n+b(x)^{n-1}+c(x)^{n-2}+....+d(x)^{1}+w(x)^{0} $$

تمثيل الأعداد كبواقي قسمة.

ويمكن أيضًا أن نفهم تمثيل الأعداد بالطريقة الآتية:

لو أخذنا العدد وقسمناه على بشكل متكرر، ماذا سينتج؟

أي:

$$ 2345 \div 10 = 234 + 5 \\ 234 \div 10 = 23 + 4 \\ 23 \div 10 = 2 + 3 \\ 2 \div 10 = 0 + 2 \\ $$

لاحظ، لو أخذنا الباقي مرتبًا من الأخير إلى الأول سينتج لدينا العدد الآتي: ، وهو ذاته العدد الذي قُمنا بتمثيله.

إذن، ماذا نستفيد من هذا؟ نستفيد من هذا أن الأعداد يمكن تمثيلها أيضًا عن طريق بواقي القسمة.

الآن، لو قُمنا بتغيير الأساس ، إلى الأساس ، وطبّقنا مثال نظام بواقي القسمة، فماذا سيحدث؟

لنرى:

$$ 2345 \div 2 = 1172 + 1 \\ 1172 \div 2 = 568 + 0 \\ 568 \div 2 = 293 + 0 \\ 293 \div 2 = 146 + 1 \\ 146 \div 2 = 73 + 0 \\ 73 \div 2 = 36 + 1 \\ 36 \div 2 = 18 + 0 \\ 18 \div 2 = 9 + 0 \\ 9 \div 2 = 4 + 1 \\ 4 \div 2 = 2 + 0 \\ 2 \div 2 = 1 + 0 \\ 1 \div 2 = 0 + 1 \\ $$

لنأخذ بواقي القسمة فينتج: وهو تمثيل العدد في النظام الثنائي.

إذن، نسنتج أيضًا أن أنظمة العد، ما هي إلا “طويٌ” للأعداد وفق الأساس، أي أنها كالدائرة، ما إن نبدأ نعد: إلى أن نصل إلى الأساس $n$ ، نعود مرة أخرى إلى نقطة البداية، لكن نضيفُ “خانة” إضافية في العدد تكون $n$ مرفوعة للقوة الخاصة بالخانة من ذلك العدد، أي إذا كانت الآحاد فالآحاد وهي ما يكافئ ، وإن كانت العشرات فهي والمئات ، وهكذا نستمر، فالمئات فالألوف إلى مالانهاية.

وبالطبع يمكن تمثيل العدد في النظام الثنائي بهذه الطريقة كـ :

$$ 1(2)^{11}+0(2)^{10}+0(2)^{9}+1(2)^{8}+0(2)^{7}+0(2)^{6}+1(2)^{5}+0(2)^{4}+1(2)^{3}+0(2)^{2}+0(2)^{2}+1(2)^{0} \\ = 2^{11} + 0 + 0 + 2^8 + 0 + 0 + 2^5 + 0 + 2^3 + 0 + 0 + 1 \\ = 2345 $$

أي أننا قُمنا بالتعويض في دالة الـ ، بحيث أن باقي القسمة هي الثوابت() ، وأن هي المتغير والذي هو الأساس.

طرق التحويل

هُناك طريقتان للتحويل بين أنظمة العد:

  1. باستخدام بواقي القسمة.
  2. باستخدام الـ .

1. التحويل باستخدام بواقي القسمة.

الخوارزمية:

ليكن الأساس المُراد التحويل إليه، و هو العدد.

  1. قم بقسمة العدد على الأساس قسمة اقليدية.
  2. كرر الخطوة 1، إلى أن يكون ناتج القسمة يساوي .
  3. خُذ بواقي القسمة مرتبةً من الأخير إلى الأول.

مميزاتها:

  1. هي الركيزة الأساسية لفكرة تحويل أساسات الأعداد، فبدونها لن تستطيع استخدام الطريقة رقم 2 .

عيوبها:

  1. تصلح للتحويل من الأساس العشري إلى أي أساس آخر فقط، ولا تصلح للتحويل من أساس غير عشري إلى آخر غير عشري، ولا أساس غير عشري إلى عشري، إلا إذا قُمنا بتعريف عملية القسمة وفقًا للأساس المُحول إليه، وهذا مرهق.

مثال:

حوّل العدد إلى الأساس .

$$ 9 \div 2 = 4 + 1 \\ 4 \div 2 = 2 + 0 \\ 2 \div 2 = 1 + 0 \\ 1 \div 2 = 0 + 1 \\ \implies 1001_2 $$

2. التحويل باستخدام الـ Polynomial

الخوارزمية:

ليكن:

: الأساس الحالي.

: الأساس المُراد التحويل إليه.

ولنبدأ:

  1. اكتب العدد على صيغة بدلالة العدد .
  2. قُم بكتابة الأساس على صيغة الأساس ، ولنعتبر العدد الناتج عن هذه الخطوة هو .
  3. قُم بحساب قوى العدد وفق الأساس ، بحسب عدد خانات العدد التي نحتاجها.
  4. قُم بتعويض القوى الناتجة عن الخطوة 3 في الـ التي في الخطوة .1
  5. اجمع الناتج عن الخطوة 4 وفق الأساس .

مميزاتها :

  1. لا تحتاج إلى عمليات قسمة كثيرة، بل كل ما تحتاجه هو أن تعبّر عن الأساس الحالي بالأساس المُراد التحويل إليه(وهذا غالبًا ما يكون أقل تكلفةً كون أن الأساسات صغيرة عادةً).
  2. يمكن استخدامها للتحويل من أي أساس إلى آخر، سواء كان عشريًا أو غير عشري.

عيوبها:

  1. تحتاج لحساب قوى الأساس الحالي بعد تحويله إلى الأساس الجديد، وهذا الأمر مُكلف إذا كان عدد خانات الرقم كبيرًا.
  2. عمليّة الجمع في الخطوة رقم 5، تكون بالنسبة للأساس وهذا أمر مربك قليلًا.
  3. تعتمد على طريقة بواقي القسمة في تحويل إلى .

مثال:

لنقم بتحويل العدد إلى الأساس .

  1. لنقم أولًا بكتابة العدد على صيغة :
$$ 1(2^3)+0(2^2)+0(2^1)+1(2^0) $$
  1. الآن نحوّل الأساس إلى الأساس :
$$ 2 \div 3 = 0 + 2 \\ \implies 2_3 $$
  1. الآن نحسب القوى التي نحتاجها:
$$ 2_3 ^{3} = (2_{10} * 2_{10} * 2_{10}) \div 3 = 2 + 2 \\ 2_{10} \div 3 = 0 + 2 \\ \implies 22_3 $$
  1. الآن نعوّض في (1)، ثم نجمع:
$$ 1(2_3^3)+0(2_3^2)+0(2_3^1)+1(2_3^0) \\ = 22_3 + 0 + 0 + 1_3 = 100_3 $$
التحقق:
  1. العدد يكافئ العدد .
  2. العدد للأساس يساوي: .
  3. من التعدي: العدد يكافئ العدد .

خاتمة

تم في السابع والعشرين من شهر يونيو لعام 2019، وعلى عجل، وبالله التوفيق.

  • فارس.
  1. لم أتّبع في هذا المقال الأسلوب الرياضي الدقيق. لأن الغرض الأساسي منه ليس الإثبات ولا البرهنة، لكن إنما عرضٌ لمعنى التمثيل عن طريق مفهومين رياضيين وفهم معنى تمثيل الأعداد، بالإضافة إلى خوارزميتي التحويل التي ارتأيتُ أن أقدّمها بطريقةٍ قريبة إلى أهل في الحاسب في الكتابة. 

  2. ستكرر علاقة التكافؤ في هذا المقال كثيرًا، نظرًا لوجهة نظرٍ أعتقدها، وأما إثباتها وبرهنتها ففي وقتٍ لاحق إن سمح الوقت.